Единица делить на бесконечность

С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль ( 0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

  • упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
  • использование замечательных пределов;
  • применение правила Лопиталя;
  • использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Вычислить предел

Подставляем значение:

И сразу получили ответ.

Вычислить предел

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

То есть, предел можно переписать в виде

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений.

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Вычислить предел

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

После преобразования неопределенность раскрылась.

Вычислить предел

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ( 0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Вычислить предел

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения ( m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на

Вычислить предел


Степень числителя равна семи, то есть m=7 . Степень знаменателя также равна семи n=7 . Разделим и числитель и знаменатель на .

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0 <displaystyle 0> — бесконечно малая величина, а ∞ <displaystyle infty > — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов ( 0 0 ) <displaystyle left(

0^<0>
ight)> , ( 1 ∞ ) <displaystyle left(1^<infty >
ight)> , ( ∞ 0 ) <displaystyle left(infty ^<0>
ight)> пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

0^<0>
ight)=left(e^<0cdot ln <0>>
ight)=left(e^<0cdot (-infty )>
ight)> ( 1 ∞ ) = ( e ∞ ⋅ ln ⁡ 1 ) = ( e ∞ ⋅ 0 ) <displaystyle left(

1^<infty >
ight)=left(e^<infty cdot ln <1>>
ight)=left(e^<infty cdot 0>
ight)> ( ∞ 0 ) = ( e 0 ⋅ ln ⁡ ∞ ) = ( e 0 ⋅ ∞ ) <displaystyle left(

infty ^<0>
ight)=left(e^<0cdot ln <infty >>
ight)=left(e^<0cdot infty >
ight)>

Для раскрытия неопределённостей типа ∞ ∞ <displaystyle <frac <infty ><infty >>> используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа ( 0 0 ) <displaystyle left(<frac <0><0>>
ight)> существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа ( ∞ − ∞ ) <displaystyle (infty -infty )> иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f ( x ) → x → a ∞ <displaystyle f(x)<xrightarrow >infty > и g ( x ) → x → a ∞ <displaystyle g(x)<xrightarrow >infty > ; lim x → a [ f ( x ) − g ( x ) ] = ( ∞ − ∞ ) = lim x → a ( 1 1 f ( x ) − 1 1 g ( x ) ) = lim x → a 1 g ( x ) − 1 f ( x ) 1 g ( x ) ⋅ 1 f ( x ) = ( 0 0 ) <displaystyle lim _[f(x)-g(x)]=(infty -infty )=lim _left(<frac <1><frac <1>>>-<frac <1><frac <1>>>
ight)=lim _<frac <<frac <1>>-<frac <1>>><<frac <1>>cdot <frac <1>>>>=left(<frac <0><0>>
ight)> .

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Пример [ править | править код ]

0>"> lim x → a a x − x a x − a , a > 0 <displaystyle lim _<frac -x^>>,a>0> 0>"/> — пример [1] неопределённости вида ( 0 0 ) <displaystyle left(<frac <0><0>>
ight)> . По правилу Лопиталя lim x → a a x − x a x − a = lim x → a a x ln ⁡ a − a x a − 1 1 = a a ( ln ⁡ a − 1 ) <displaystyle lim _<frac
-x^>>=lim _<frac ln a-ax^><1>>=a^(ln a-1)> . Второй способ — прибавить и отнять в числителе a a <displaystyle a^> и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям a x <displaystyle a^> и x a <displaystyle x^> соответственно:

a x − x a x − a = a x − a a − ( x a − a a ) x − a = a c ln ⁡ a ( x − a ) − a d a − 1 ( x − a ) x − a = a c ln ⁡ a − a d a − 1 <displaystyle <frac -x^>>=<frac -a^-(x^-a^)>>=<frac ln a(x-a)-ad^(x-a)>>=a^ln a-ad^>

здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.

В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.

Выделяют следующие основные виды неопределенностей:

  1. Деление 0 на 0 " open=" 0 0 ;
  2. Деление одной бесконечности на другую " open=" ∞ ∞ ;

0 , возведенный в нулевую степень " open=" 0 0 ;

  • бесконечность, возведенная в нулевую степень " open=" ∞ 0 .
  • Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.

    Раскрытие неопределенностей

    Раскрыть неопределенность можно:

      С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );

    С помощью замечательных пределов;

    С помощью правила Лопиталя;

    Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

    Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

    Неопределенность Метод раскрытия неопределенности
    1. Деление 0 на 0 Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin ( k x ) k x или k x sin ( k x ) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений
    2. Деление бесконечности на бесконечность Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя
    3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями Преобразование в " open=" 0 0 или " open=" ∞ ∞ с последующим применением правила Лопиталя
    4. Единица в степени бесконечности Использование второго замечательного предела
    5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень Логарифмирование выражения с применением равенства lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) = ln lim x → x 0 f ( x )

    Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

    Вычислите предел lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 .

    Решение

    Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

    lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 — 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

    Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 3 2 .

    Вычислите предел lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 .

    Решение

    У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить x = 0 .

    ( x 2 + 2 , 5 ) x = 0 = 0 2 + 2 , 5 = 2 , 5

    Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

    lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2

    Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1 x 2 = x — 2 . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞

    Таким образом, можно записать, что lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .

    Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0 , и получаем:

    lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞

    Ответ: lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = + ∞ .

    Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

    Вычислите предел lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 .

    Решение

    Выполняем подстановку значений.

    lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = 1 2 — 1 1 — 1 = " open=" 0 0

    В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

    lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = " open=" 0 0 = lim x → 1 ( x — 1 ) · ( x + 1 ) x — 1 = = lim x → 1 ( x — 1 ) · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) x — 1 = lim x → 1 ( x + 1 ) · x — 1 = = 1 + 1 · 1 — 1 = 2 · 0 = 0

    Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

    Ответ: lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = 0

    Вычислите предел lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x .

    Решение

    Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

    lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = 3 — 3 12 — 3 — 6 + 3 = 0 9 — 9 = " open=" 0 0

    Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12 — x + 6 + x :

    lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = " open=" 0 0 = lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x — 6 + x 12 — x + 6 + x

    Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

    lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x — 6 + x 12 — x + 6 + x = lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x 2 — 6 + x 2 = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x 12 — x — ( 6 + x ) = = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x 6 — 2 x = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x — 2 ( x — 3 ) = = lim x → 3 12 — x + 6 + x — 2 = 12 — 3 + 6 + 3 — 2 = 9 + 9 — 2 = — 9 = — 3

    Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

    Ответ: lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = — 3 .

    Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

    Вычислите предел lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 .

    Решение

    lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = 1 2 + 2 · 1 — 3 3 · 1 2 — 5 · 1 + 2 = " open=" 0 0

    В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0 , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х — 1 ,и тогда неопределенность исчезнет.

    Выполняем разложение числителя на множители:

    x 2 + 2 x — 3 = 0 D = 2 2 — 4 · 1 · ( — 3 ) = 16 ⇒ x 1 = — 2 — 16 2 = — 3 x 2 = — 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x — 3 = x + 3 x — 1

    Теперь делаем то же самое со знаменателем:

    3 x 2 — 5 x + 2 = 0 D = — 5 2 — 4 · 3 · 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 — 1 2 · 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 · 3 = 1 ⇒ 3 x 2 — 5 x + 3 = 3 x — 2 3 x — 1

    Мы получили предел следующего вида:

    lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = " open=" 0 0 = lim x → 1 x + 3 · x — 1 3 · x — 2 3 · x — 1 = = lim x → 1 x + 3 3 · x — 2 3 = 1 + 3 3 · 1 — 2 3 = 4

    Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

    Ответ: lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = 4 .

    Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0 , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

    Например, lim x → ∞ ( x 4 + 2 x 3 — 6 ) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 — 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .

    Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x → ∞ у нас возникает неопределенность вида " open=" ∞ ∞ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x m a x ( m , n ) . Приведем пример решения подобной задачи.

    Вычислите предел lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 .

    Решение

    lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = " open=" ∞ ∞

    Степени числителя и знаменателя равны 7 . Делим их на x 7 и получаем:

    lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 — 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 — 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 — 0 3 + 0 = 1 3

    Ответ: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

    Вычислите предел lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

    Решение

    lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = " open=" ∞ ∞

    Числитель имеет степень 8 3 , а знаменатель 2 . Выполним деление числителя и знаменателя на x 8 3 :

    lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = " open=" ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

    Ответ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

    Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

    Решение

    lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = " open=" ∞ ∞

    У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 10 3 . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x 10 3 :

    lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = " open=" ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 — 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ — 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 — 0 1 + 0 + 0 3 = 0

    Ответ: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

    Выводы

    В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

    Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

    Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

    Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

    Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.


    [an error occurred while processing the directive]
    Карта сайта