Lim tgx x при x 0

Используя этот онлайн калькулятор для вычисления пределов (лимитов), вы сможете очень просто и быстро найти предел функции.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления пределов, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Найти предел

lim
x →
значение к которому стремится переменная:

Для вычисления пределов онлайн выполните следующие действия

  • введите значения функции f ( x ), используя стандартные математические операции и математические функции.
  • Введите значение к которому стремится переменная x .
  • Нажмите кнопку "Равно".
  • Через несколько секунд вы увидите решение предела.

Данный калькулятор для решения пределов онлайн использует виджет на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Пример 1
Решить предел с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $lim_limits frac<sin3x>$
Решение

Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(frac<0><0>)$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.

$$ tg 2x = frac <2x>cdot 2x $$ $$ sin 3x = frac<sin 3x> <3x>cdot 3x $$

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <sin3x>= frac<2><3>$$

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 — b^2$ упростим числитель.

В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-cos x = 2sin^2 frac<2>$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.

Пример 2
Вычислить предел с помощью тригонометрического преобразования $lim_limits frac<sqrt<4+x>-2><1-cos 3x>$
Решение
Ответ
$$lim_limits frac<sqrt<4+x>-2> <1-cos 3x>= infty$$

Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(frac<infty><infty>)$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

Подставляем полученное выражение под знак предела и пременяем свойство предела для показательной функции.

Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.

Пример 3
Найти предел с помощью логарифмирования $lim_limits (tg x)^ <sin x>$
Решение
Ответ
$$lim_limits (tg x)^ <sin x>= 1$$

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

$$ arcsin 3x sim 3x $$ $$1-cos 2x sim 2x^2 $$

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

Так как при $alpha o<0>$ имеем $sinalpha o<0>$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $frac<0><0>$. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной $alpha$ под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, – лишь бы выполнялись два условия:

  1. Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $frac<0><0>$.
  2. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:

На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти тут.

Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $frac <0><0>$ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, – например, см. пример №11.

Формула доказана. Более строгое доказательство (с обоснованием равенства $lim_<alpha o<0>>cosalpha=1$) можно посмотреть в решебнике Демидовича (№474.1).

б) Сделаем замену $alpha=sin$. Поскольку $sin<0>=0$, то из условия $alpha o<0>$ имеем $y o<0>$. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $arcsinalpha=arcsin(sin)=y$, поэтому:

в) Сделаем замену $alpha= g$. Поскольку $ g<0>=0$, то условия $alpha o<0>$ и $y o<0>$ эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $arctgalpha=arctg g)=y$, поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:

Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Так как $lim_<2>>frac=frac<2^2-4><2+7>=0$ и $lim_<2>>sinleft(frac
ight)=sin<0>=0$, т.е. и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Кроме того, видно, что выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают (т.е. выполнено и второе условие):

Итак, оба условия, перечисленные в начале страницы, выполнены. Из этого следует, что применима формула (1), т.е. $lim_<2>> frac<sinleft(frac
ight)><frac>=1$.

Так как $lim_<0>>sin<9x>=0$ и $lim_<0>>x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, – тогда второе условие станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, – просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:

Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $lim_<0>>frac<sin<9x>><9x>$ выполнены. Следовательно, $lim_<0>>frac<sin<9x>><9x>=1$. А это значит, что:

Так как $lim_<0>>sin<5x>=0$ и $lim_<0>> g<8x>=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $sin<5x>$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, – и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем, домножив и разделив $ g<8x>$ на $8x$:

Сокращая на $x$ и вынося константу $frac<5><8>$ за знак предела, получим:

Обратите внимание, что $lim_<0>>frac<sin<5x>><5x>$ полностью удовлетворяет требованиям для первого замечательного предела. Для отыскания $lim_<0>>frac< g<8x>><8x>$ применима формула (2):

Так как $lim_<0>>(cos<5x>-cos^3<5x>)=1-1=0$ (напомню, что $cos<0>=1$) и $lim_<0>>x^2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (дабы потом применить формулу (1)) или тангенсам (чтобы потом применить формулу (2)). Сделать это можно таким преобразованием:

Вернемся к пределу:

Дробь $frac<sin^2<5x>>$ уже близка к той форме, что требуется для первого замечательного предела. Немного поработаем с дробью $frac<sin^2<5x>>$, подгоняя её под первый замечательный предел (учтите, что выражения в числителе и под синусом должны совпасть):

Вернемся к рассматриваемому пределу:

Так как $lim_<0>>(1-cos<6x>)=0$ и $lim_<0>>(1-cos<2x>)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $frac<0><0>$. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела. Для этого перейдем от косинусов к синусам. Так как $1-cos<2alpha>=2sin^2<alpha>$, то:

Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:

Вычислить предел $lim_<0>>frac<cos(alpha)-cos(eta)>$ при условии $alpha
eqeta$.

Подробные пояснения были даны ранее, здесь же просто отметим, что вновь наличествует неопределенность $frac<0><0>$. Перейдем от косинусов к синусам, используя формулу

Используя указанную формулу, получим:

Так как $lim_<0>>( g-sin)=0$ (напомню, что $sin<0>= g<0>=0$) и $lim_<0>>x^3=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Раскроем её следующим образом:

Аналогичную задачу можно посмотреть в решебнике Демидовича (№475)

Так как $lim_<3>>(1-cos(x-3))=0$ и $lim_<3>>(x-3) gfrac<2>=0$, то наличествует неопределенность вида $frac<0><0>$. Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $alpha o 0$). Проще всего ввести переменную $t=x-3$. Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: $t=frac<2>$. Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как $x o<3>$, то $t o<0>$.

Вновь мы имеем дело с неопределенностью $frac<0><0>$. Перед тем, как переходить к ее раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $alpha o<0>$). Проще всего ввести переменную $t=frac<pi><2>-x$. Так как $x ofrac<pi><2>$, то $t o<0>$:

В данном случае нам не придётся использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в примерах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций под знаком предела вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.

Так как $lim_<2>>(1-sin)=0$ (напомню, что $sinfrac<pi><2>=1$) и $lim_<2>>cos^2x=0$ (напомню, что $cosfrac<pi><2>=0$), то мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Однако это вовсе не означает, что нам потребуется использовать первый замечательный предел. Для раскрытия неопределенности достаточно учесть, что $cos^2x=1-sin^2x$:

Аналогичный способ решения есть и в решебнике Демидовича (№475). Что же касается второго предела, то как и в предыдущих примерах этого раздела, мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Отчего она возникает? Она возникает потому, что $ gfrac<2pi><3>=-sqrt<3>$ и $2cosfrac<2pi><3>=-1$. Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см., например, примеры №9 или №10 на этой странице). Однако в данном примере в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной $t=x-frac<2pi><3>$ несложно осуществить.

Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.

Каким будет решение с использованием первого замечательного предела? показатьскрыть

При использовании первого замечательного предела получим:

Пример 4
Взять предел путем замены на бесконечно малые эквивалентные функции $lim_limits frac<1-cos 2x>$
Решение

[an error occurred while processing the directive]
Карта сайта