Lim 1 x 2 ctg2x

kor.giorgio@gmail.com Выход

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите выражение функции
Вычислить предел

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Предел функции при х->х0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка ( x_0 in X ) или ( x_0
otin X )

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0:
x1, x2, x3, . xn, . (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x1), f(x2), f(x3), . f(xn), . (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х0 (или при х -> x0), если для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

Символически это записывается так:
$$ lim_ < f(x)>= A $$

Функция f(x) может иметь в точке x0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
n)> имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x0, если для любого числа ( varepsilon > 0 ) существует число ( delta > 0 ) такое, что для всех ( x in X, ; x
eq x_0 ), удовлетворяющих неравенству ( |x-x_0| 0) (exists delta > 0) (forall x in X, ; x
eq x_0, ; |x-x_0|

Предел функции при x->x0— и при x->x0+

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x0, если для любой сходящейся к x0 последовательности (1), элементы xn которой больше (меньше) x0, соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ lim_ f(x) = A ; left( lim_ f(x) = A
ight) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке ( varepsilon — delta )»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x0, если для любого ( varepsilon > 0 ) существует ( delta > 0 ) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам ( x_0 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 -delta

Предел функции при ( x o infty ), при ( x o -infty ) и при ( x o +infty )

Кроме рассмотренных понятий предела функции при x->x0 и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ( x o infty ), если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символическая запись:
$$ lim_ f(x) = A $$

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ( x o +infty ; (x o -infty) ) , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы xn которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Символическая запись:
$$ lim_ f(x) = A ; left( lim_ f(x) = A
ight) $$

Теоремы о пределах функций

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема. Пусть функции f(х) и g(х) имеют в точке x0 пределы В и С. Тогда функции f(x)±g(x), f(x) g(x) и ( frac ) (при ( C
eq 0 ) ) имеют в точке x0 пределы, равные соответственно В±С, ВС и ( frac ).

Теорема. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0, и функции f(х), h(x) имеют в точке x0 предел, равный А, т.е. $$ lim_ f(x) = lim_ h(x) = A $$
Пусть, кроме того, выполняются неравенства ( f(x) leq g(x) leq h(x) ). Тогда $$ lim_
g(x) = A $$

Теорема Лопиталя. Если $$ lim_ f(x) = lim_ g(x) = 0 $$ или (infty ) f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности x0 , и ( g'(x)
eq 0 ) в окрестности x0 , и существует $$ lim_
frac$$ то существует $$ lim_ frac = lim_ frac$$

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида ( frac<0> <0>) и ( frac<infty> <infty>).

задан 6 Май ’14 1:13

Функцию можно представить в виде частного: $%frac$%, где $%f(x)=1-x^2<mathop<
m ctg>>^2x$%. Далее надо перейти к производным, а потом ко вторым производным. Получится отношение $%frac2$%, после чего предел вычисляется.

Извините,этот пример не очень понятен,можно конкретнее,пожалуйста,написать?Спасибо.

@АляТФ: вот Вы читаете текст, доходите до первого непонятного предложения или оборота, а затем задаёте уточняющий вопрос. Если Вы это сделаете (столько раз, сколько потребуется), то я охотно всё объясню.

Тут вычисления получаются достаточно сложные, поэтому я привёл полное рассуждение. Вообще-то такие примеры лучше решать другими методами, так как там всё вычисляется проще. Но они, возможно, пока ещё не изучались, поэтому приходится так вот много раз дифференцировать.

1 ответ

Функция, предел которой надо найти, равна $%frac1-frac<cos^2x><sin^2x>=frac1-frac<1-sin^2x><sin^2x>=1-(frac1<sin^2x>-frac1)$%. Найдём предел функции, заключённой в скобки. Она равна $%frac$% после приведения к общему знаменателю, где $%f(x)=x^2-sin^2x$%, $%g(x)=x^2sin^2x$%. Поскольку $%f(0)=g(0)=0$%, мы имеем неопределённость типа $%frac00$%, и можно применить правило Лопиталя, переходя от отношения функций к отношению их производных.

Имеем $%f'(x)=2x-2sin xcos x=2x-sin2x$%; $%g'(x)=2xsin^2x+x^2sin2x$%. При $%x=0$% основа получается неопределённость того же типа, поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз и находим вторые производные. $%f»(x)=2-2cos2x$%; $%g»(x)=2sin^2x+2xsin2x+2xsin2x+2x^2cos2x=2sin^2x+4xsin2x+2x^2cos2x$%. Значение каждой из функций по-прежнему равно нулю, и правило применяется третий раз. Для этого находим третьи производные: $%f»'(x)=4sin2x$%; $%g»'(x)=2sin2x+4sin2x+8xcos2x+4xcos2x-4x^2sin2x=(6-4x^2)sin2x+12xcos2x$%. Значения обеих функций в нуле по-прежнему равны нулю. Применяем правило Лопиталя в четвёртый раз (он уже будет последним). $%f»»(x)=8cos2x$%; $%g»»(x)=-8xsin2x+2(6-4x^2)cos2x-24xsin2x+12cos2x$%, а это равно $%-32xsin2x+(24-8x^2)cos2x$%.

Теперь $%f»»(0)=8$% и $%g»»(x)=24$%, поэтому предел отношения равен $%1/3$%. Это предел той функции из начала текста, которая была заключена в скобки. Поэтому ответом будет $%1-frac13=frac23$%.

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Пример 1
Решить предел с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $lim_limits frac<sin3x>$
Решение

Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(frac<0><0>)$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.

$$ tg 2x = frac <2x>cdot 2x $$ $$ sin 3x = frac<sin 3x> <3x>cdot 3x $$

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <sin3x>= frac<2><3>$$

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 — b^2$ упростим числитель.

В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-cos x = 2sin^2 frac<2>$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.

Пример 2
Вычислить предел с помощью тригонометрического преобразования $lim_limits frac<sqrt<4+x>-2><1-cos 3x>$
Решение
Ответ
$$lim_limits frac<sqrt<4+x>-2> <1-cos 3x>= infty$$

Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(frac<infty><infty>)$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

Подставляем полученное выражение под знак предела и пременяем свойство предела для показательной функции.

Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.

Пример 3
Найти предел с помощью логарифмирования $lim_limits (tg x)^ <sin x>$
Решение
Ответ
$$lim_limits (tg x)^ <sin x>= 1$$

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

$$ arcsin 3x sim 3x $$ $$1-cos 2x sim 2x^2 $$

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

Пример 4
Взять предел путем замены на бесконечно малые эквивалентные функции $lim_limits frac<1-cos 2x>$
Решение

[an error occurred while processing the directive]
Карта сайта